不看题解我是真的不会DP吖

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了$n$盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为$1m/s$，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：$(m)$、功率$(W)$，老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式

文件第一行是两个数字$n(1\le n\le 50$，表示路灯的总数$)$和$c(1\le c\le n$老张所处位置的路灯号$)$；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据，即最少的功耗$($单位：$J$，$1J=1W·s)$。

解法

其实我一上来连这题是区间DP都看不出来这题刚开始我认为应该设置$f_{i,j}$表示现在的时间点是$i$,坐标为$j$的最小答案.但是很快我就发现我太沙雕天真了,题目中并没有给出坐标的范围,而且这样做肯定很容易$MLE$,统计时的坐标也不重要,因为一次肯定从一个灯到另一个灯,显然不需要把所有坐标记下来.因此我打开题解一看,我们设$f_{i,j,0/1}$表示现在消掉了第$i$到第$j$盏灯,而且我们现在在$i$点$(0)$, 或者$j$点$(1)$的最小答案,目标:$min(f_{1,n,0},f_{1,n,1})$.

这样一看,这题还是很符合区间$DP$的特点的.因为我们消掉的一定是一个跨过起点的区间,因为假设有一个不跨过起点的区间,那么从起点到那个区间的路上,不顺便把路上的灯灭掉显然是不合算的.这样的话,我们枚举$i$的时候要从起点往前枚举,而枚举$j$的时候要从起点往后枚举,这样就可以保证区间跨过起点了.然后我们来考虑怎么转移.

比如我们现在在$f_{i,j,0}$,那么灭掉$i$这盏灯之前一定是灭掉了$[i+1,j]$,因此要从两种情况转移过来.一个是从i+1直接往左到i,另一个是从j回头往左到i.而此过程中其他灯都在运行,因此我们需要快速求出其他灯的总功率,乘以两点之间的距离.这可以通过一个前缀和数组来优化.也就是

$f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(sum[n]-sum[j]+sum[i])* dis(i,i+1),f[i + 1][j][1]+(sum[n]-sum[j]+sum[i])* dis(i,j))$

其中$dis(i,j)$表示两点之间的距离(坐标相减).同理我们可以得到:

$f[i][j][1]=min(f[i][j-1][0]+(sum[n]-sum[j-1]+sum[i-1])* dis(i,j),f[i][j-1][1]+(sum[n]-sum[j-1]+sum[i-1])* dis(j-1,j))$

因为我们要取$min$,所以要初始化所有$f$为$inf$,然后$f[st][st]=0$就可以了.

代码:

#include <cmath>
#include <queue>
#include <deque>
#include <cctype>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

template<class T> inline void read(T &x) {
    x = 0;
    char ch = getchar(), w = 0;
    while (!isdigit(ch))
        w = (ch =='-'), ch = getchar();
    while (isdigit(ch))
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    x = w ? -x : x;
    return;
}

int n, st, f[100][100][2], sum[100];

struct node {
    int pos, pow;
}light[100];

inline int dis(int l, int r) {
    return light[r].pos - light[l].pos;
}

int main() {
    read(n), read(st);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        read(light[i].pos), read(light[i].pow), sum[i] = sum[i - 1] + light[i].pow;
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[st][st][0] = f[st][st][1] = 0;
    f[st - 1][st][0] = (sum[n] - light[st].pow) * (light[st].pos - light[st - 1].pos);
    f[st][st + 1][1] = (sum[n] - light[st].pow) * (light[st + 1].pos - light[st].pos);
    f[st - 1][st][1] = f[st - 1][st][0] + (sum[n] - light[st].pow - light[st - 1].pow) * (light[st].pos - light[st - 1].pos);
    f[st][st + 1][0] = f[st][st + 1][1] + (sum[n] - light[st + 1].pow - light[st].pow) * (light[st + 1].pos - light[st].pos);
    for (int i = st; i >= 1; --i) {
        for (int j = st; j <= n; ++j) {
            if (i == st && j == st)
                continue;
            f[i][j][0] = min(f[i + 1][j][0] + (sum[n] - sum[j] + sum[i]) * dis(i, i + 1), f[i + 1][j][1] + (sum[n] - sum[j] + sum[i]) * dis(i, j));
            f[i][j][1] = min(f[i][j - 1][0] + (sum[n] - sum[j - 1] + sum[i - 1]) * dis(i, j), f[i][j - 1][1] + (sum[n] - sum[j - 1] + sum[i - 1]) * dis(j - 1, j));
        }
    }
    cout << min(f[1][n][0], f[1][n][1]) << endl;
    return 0;
}

——Gensokyo